恩格斯认为：把自然科学的经验概括起来的结论是一些概念。[1]因此，对科学概念的正确认识是自然辩证法学科的重要任务。在《反杜林论》和《自然辩证法》中,恩格斯谈了他对科学概念的一些看法，其中关于数学概念的论述尤其精当。这些论述可概括为两点：第一， 数和形的概念具有理性特征；[2]第二，数和形的概念是由外部现实世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的，表现在数学概念中的纯粹思维的能力是长期的以经验为依据的历史发展的结果。[3]恩格斯对数学概念的看法对我们研究自然科学概念的特征与起源具有重要的指导意义，因此， 有必要结合新材料对恩格斯的观点加以阐发。

                             一、 数学概念的理性特征

    一般认为：纯数学同逻辑学一样，是一门“形式科学”。就是说，它只涉及感性经验的形式，不涉及其内容。数学概念对于感性经验的这种相对独立性，就是数学概念的理性特征。具体说来，这些特征体现在以下四个方面：

    １.纯粹性

    数学概念是纯粹的理性概念，不夹杂感性内容。以“３”这个数字为例。３就是３， 一个纯粹的数，既不是３个，也不是３头、３只，而干脆就是“３”。再以“三角形”概念为例。 我们在几何学中所说的“三角形”，既不同于生活中见到的三角形， 也不同于做证明题时画在纸面上帮助思考的三角形。这些三角形都不纯粹。纯粹的三角形只存在于我们的思维中。

    正由于其纯粹性，数学概念才成为感性经验的形式。我们谈到３个人、３头牛、３只鸟， 而不是２个、２头、２只或４个、４头、４只， 就是因为经验中的数量关系正好合于我们头脑中的“３”的概念。我们把生活中的或纸面上画出的几何图形确认为三角形，而不是别的图形， 根据的也是我们头脑中的“三角形”概念。

    ２.单一性

    数学概念都是单一的。生活中可以有３个、３头、３只等许多个“３”， “３”的概念却只有一个。生活中有三角形的耕地，三角形的旗子等诸如此类的许多个三角形事物， 数学思维中的“三角形”概念却只有一个。

    显然，数学概念的单一性是由它的纯粹性决定的。生活中的数和形之所以不是单一的， 是因为它们不是纯粹的数和形，不是数和形的概念。

    ３.永恒性

    数学概念的纯粹性和单一性决定了它的永恒性。感性经验中的数和形是可变的，具有暂时性。数和形的概念却是永恒的，不随感性经验的变化而变化。

    ４.普遍性

    数学概念与以它为标准的感性经验是普遍与特殊的关系。正因为这样， 数学知识才可以应用于感性经验，才在现实生活中有效。

    以上特征是就每一个数学概念与其对应的感性经验的关系而论的。在数学中， 除了每个概念相对于其所对应的感性经验具有理性特征外，概念与概念之间相互联系，形成一个有机整体， 这也是概念的理性特征。概念体系的整体性表现在两个方面：

    ５.层次性

    数学概念可分为三个层次：原始概念、中间概念、基本概念。[4]原始概念与感性经验直接相关，可以直接应用于现实生活。中间概念要应用于感性经验必须以原始概念为中介。 基本概念要以中间概念为中介才能与原始概念联系起来，因而离感性经验最远。

    ６.必然性

    从逻辑上看，基本概念是整个概念的基础和逻辑起点。由中间概念可推导出原始概念， 从而形成整个数学概念体系。由此可见，每一数学概念与其他概念都处于必然联系之中。

                        二、反映在数学概念中的感性与理性的关系

    对于数学概念的理性特征，人们早有认识。从欧几里德几何学建立之日起， 人们就试图对由几条自明的公理出发，经过一系列的逻辑推导， 可以建立一个完整的理论体系这一现象作出哲学说明。柏拉图极其重视数学，也正是他的理念论第一次对概念的理性特征作出了系统阐述。 但他过于夸大这些特征，终于走进了否认感性经验的死胡同。到了近代， 哲学分成经验论和唯理论两派。经验论者认为，感性经验是知识的唯一源泉。按照这种看法，数和形的原始概念（如自然数）直接由现实生活中的感性经验而来，中间概念（如ａ、ｂ、ｃ或ｘ、ｙ、 ｚ）和基本概念是运用归纳法依次分别从原始概念和中间概念概括出来的。 这种看法无法说明数学概念的理性特征是如何产生的。唯理论也认为数学概念是一个分层次的有机整体，但与经验论不同， 他们认为基本概念是天赋的，中间概念、 中间概念下一层次的概念则依次分别由基本概念和中间概念通过演绎法导出。唯理论者高度重视数学概念的理性特征， 但由于否认了概念与感性经验的联系而无法说明数学概念为什么可以应用到现实生活中。

    康德的先验唯心论综合了经验论和唯理论的观点。他认为， 数学概念的形式来源于作为认识能力的先验范畴，其内容则来自感性材料。数学真理是先验范畴对感性直观（空间、 时间）进行整理的结果。

    人类生活在空间、时间中，数和形正是空间和时间的微观表现。既然人类对空间、 时间的认识取决于作为对象的感性空间、时间的知性（理性）认识能力，那末， 数和形的概念当然是感性与理性的结合。就这个意义来说，康德的看法是完全正确的。 问题在于：作为人类理性认识能力的先验范畴是从何而来的？它果真是“先验”的么？对此，恩格斯作出了否定的回答。 在恩格斯看来，“范畴”只相对于当代人来说才是先验的；从历史上看，它有着完全确定的感性起源。

    如果恩格斯的论断能够成立，我们就可以说，数学概念的形式和内容起源于感性经验。 数学概念的理性特征是在长期的历史发展中形成的。

                              三、数学概念的感性起源

    概念的形成要借助“范畴”这种理性认识能力，即纯粹思维能力。恩格斯认为， 人类并非一开始就有纯粹的思维，“它也有长期的经验的历史， 其时期之长短和经验自然研究的历史正好是一样的。”[5]数学概念的形成也不例外。

    从历史上看，“和其他各门科学一样，数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积、计算时间和制造器械。”[6]这些活动都要涉及有关几何图形。例如，为了测量土地，就必须确定土地的几何形状，三角形就是这样产生的。同样，“人们用来学习计数， 也就是作第一次算术运算的十个指头，可以是任何别的东西，但总不是知性的自由创造物。”[7]正是借助于手指头、脚趾头、小木棒等计数工具，人们逐渐形成了数的概念。

    但是，最初人类对数和形的理性认识夹杂在感性经验中，因而还只是处于萌芽状态。 随着人类实践的发展，这种认识逐步发展起来。 “只是从物质劳动和精神劳动分离的时候起……意识才能现实地想象：它是和现存实践的意识不同的某种东西， 它不用想象某种现实的东西就能现实地想象某种东西，”[8]只有到了这时候，作为一门形式科学的数学才能够产生。

    从个体认识的发生来看也是如此。 皮亚杰的发生认识论表明：数学概念是在儿童的成长过程中，通过不断建构形成的，而这种“建构”无非是主体与对象间的相互作用。 皮亚杰划分了儿童思维发展的四个阶段，即感性运动阶段、前运演阶段、具体运演阶段和形式运演阶段。 只是在具体运演阶段，数学概念才开始萌芽，到形式运演阶段，数学概念的理性特征才大体具备。

    人类认识史和个体认识史的一致， 表明了数学概念的形成是与人的理性认识能力的发展同步的。只有当人的思维能力发展到能够抛开事物的感性内容，只对其理性形式进行认识的程度， 数学概念的理性特征才能完全显现出来。

    正确认识数学概念的理性特征与感性起源有着极为重要的意义。 数学概念只是自然科学概念的特例。连被当做形式科学的数学的概念都起源于感性， 被称作经验自然科学的其他学科的概念就更不用说了。如果不能正确认识科学概念的理性特征与感性起源，就必然陷入唯心主义， 或犯形而上学的错误：一方面，正由于片面夸大了科学概念对于感性经验的独立性， 唯心主义才误以为科学概念是本原，感性经验只是科学概念的摹本。另一方面， 旧唯物主义则由于无法正确评价科学概念的理性特征而陷入形而上学的窘境。辩证唯物主义既说明了科学概念的理性特征， 又说明了这种特征有着完全确定的感性基础， 从而最终解决了在科学概念问题上感性与理性的辩证关系问题。

注释：

[1][2][3][5][6][7]《马克思恩格斯选集》第2版，参见第三卷第353、377、377-378、353、 378和377页。

[4]参见舒炜光主编《科学认识论》第三卷，吉林人民出版社1990年版，第54页。

[8]《马克思恩格斯选集》第2版，第一卷，第82页。

其他参考文献：

1.《西方哲学史》全增嘏主编，上海人民出版社1980年版。

2.皮亚杰《发生认识论原理》，商务印书馆1981年9月第1版。

3.康德《任何一种能够作为科学出现的未来形而上学导论》，商务印书馆1978年8月第1版。

4.M.W.瓦托夫斯基《科学思想的概念基础》，求实出版社1989年版。

》，求实出版社1989年版。